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enero 24, 2011

Metodo del Mapa de Karnaugh

El mapa de Karnaugh es un método gráfico que se utiliza para simplificar una ecuación lógica o para convertir una tabla de verdad en su circuito lógico correspondiente, es un proceso simple y ordenado. Aunque un mapa de Karnaugh se puede utilizar para resolver problemas con cualquier número de variables de entrada, su utilidad practica se limita a 6 variables. El mapa de Karnaugh, es debido al Ingeniero de IBM Maurice Karnaugh, quien la introdujo en 1953. En un mapa de Karnaugh se reescribe la columna de salida como una distribución bidimensional de celdas o cajas, cada una de ellas conteniendo un valor 0 ó 1. Cada celda tiene como indice un número binario, que es el número binario que hay en las columnas de entrada de la correspondiente fila de la tabla de la verdad.

Acá se presenta un ejemplo de mapas de karnaugh y tablas de verdad para 2 y 3 variables.

Tablas de verdad y mapa de Karnaugh
Como se puede observar en el ejemplo anterior el mapa de Karnaugh es un medio parecido a la tabla de la verdad que permite demostrar de manera sencilla la relación existente entre las entradas lógicas y la salida que se busca. Este ejemplo permite aclarar los siguientes puntos:
  1. La tabla de verdad da el valor de la salida x para cada combinación de valores de entradas. Por su parte el mapa de karnaugh proporciona la misma información en un formato diferente. Cada caso en la tabla de verdad corresponde a un cuadrado en el mapa de karnaugh.
  2. Los cuadrados del mapa de karnaugh se marcan de modo que los cuadrados horizontalmente adyacentes difieran únicamente en una variable. Análogamente, los cuadrados verticalmente adyacentes difieren solo en una variable.
  3. Una vez que el mapa de karnaugh se ha llenado con ceros y unos, la expresión en suma de productos para la salida x se puede obtener operando con OR aquellos cuadrados que contienen un 1.
La expresión de la salida x se puede simplificar adecuadamente combinando los cuadrados en el mapa de karnaugh que contengan 1. El proceso para combinar estos unos se denomina repetición.

Repetición de grupos de dos (pares): la repetición de un par de unos adyacentes en un mapa de karnaugh elimina la variable que aparece en forma complementada y no complementada. Por ejemplo: en la siguiente figura muestra dos unos horizontalmente adyacentes, estos pueden repetir y la variable C eliminarse, ya que aparece en forma complementada y no complementada, para dar una resultante: X= ĀB.
Ejemplo repetición de grupos de dos (pares).

Repetición de grupos de cuatro (cuádruples):  La repetición de un cuádruple de unos elimina las dos variables que aparecen en forma complementada y no complementada.
Ejemplo: en la siguiente figura se observa que los cuatro cuadrados que contienen unos son: 

Mapa de karnaugh repetición de grupos de cuatro (cuádruples)

El análisis de estos términos indica que solo las variables A y D negado, permanecen sin cambios; así que la expresión simplificada para x es: X= A.D(negado).

Repetición de grupos de ocho (octetos): La repetición de un octeto de unos elimina las tres variables que aparecen en forma complementada y no complementada. Cuando un octeto se repite en un mapa con cuatro variables, tres de las cuatro variables se eliminan puesto que solo una de ellas permanece inalterada. Por ejemplo, el análisis de los ochos cuadrados repetidos en la siguiente figura se muestra que solo la variable B esta en la misma forma para los ochos cuadrados; las otras variables aparecen en forma complementada y no complementada. Así para este mapa X=B.

Ejemplo repetición de grupos ocho (octetos). X=B.

Cuando una variable aparece en forma complementada y no complementada dentro de un ciclo, esta variable es eliminada de la expresión. Las variables que son iguales en todos los cuadrados del ciclo deben aparecer en la expresión final.

Etapas para simplificar una ecuación booleana mediante mapa de karnaugh
  1. Construir el mapa k y colocar unos en aquellos cuadrados correspondientes a los unos de la tabla de verdad. Colocar cero en los otros cuadrados.
  2. Examinar el mapa para ver si hay unos adyacentes y repetir aquellos unos que no sean adyacentes a cualesquiera otros unos. A estos se les llama unos aislados.
  3. Ubicar aquellos unos que sean adyacentes a otros unos. Repetir a cualquier par que contenga a dicho 1.
  4. Repetir a cualquier octeto aun si algunos de los unos ya se han repetido.
  5. Repetir cualquier cuádruple que contenga uno o mas unos que no se hayan repetido.
  6. Repetir los pares que sean necesarios para incluir los unos que no se hayan repetido, asegurándose de utilizar el numero mínimo de ciclos.
  7. Formar la suma OR de todos los términos generados por cada ciclo.

Condiciones "no se preocupe"
Algunos circuitos lógicos pueden ser diseñados de manera que haya ciertas condiciones de entrada para las cuales no se especifiquen niveles de salida, generalmente porque estas condiciones de entrada nunca ocurrirán. En otras palabras, habrá ciertas combinaciones de niveles de entrada donde "no nos preocupamos" de si la salida es ALTA o BAJA. Véase la siguiente figura.

Ejemplo condiciones "no se preocupe".

Aquí la salida x no se especifica como cero y uno para las condiciones A, B, C=1, 0, 0 y A, B, C= 0, 1, 1. En su lugar, se muestra una x para estas condiciones. La x representa la condición "no se preocupe".
Una condición "no se preocupe" puede ocurrir por varias razones; la más común de ellas es que en algunas situaciones ciertas combinaciones de entradas no pueden presentarse y así no es necesario especificar la salida en estas condiciones.
Cualquier diseñador tiene la libertad de convertir una salida "no se preocupe" en un 0 o 1, con el propósito de simplificar la ecuación de salida.

Por ejemplo, en la tabla de verdad que aparece arriba seria adecuado que se cambie la x de los cuadrados 1, 0, 0 y 0, 1, 1. Estas podrían ser cambiadas la primera por un 1 y la segunda por un 0, como se muestra en el segundo mapa mostrado en la figura de arriba, esto produce un cuádruple que se puede repetir para producir x=A.

Hay que tener en cuenta que siempre que ocurran condiciones del tipo "no se preocupe", tenemos que decidir cuales cambiar por 0 y cuales cambiar por 1 para producir la repetición del mapa de karnaugh de forma más simple.

Fuentes:
Sistemas Digitales. Principios y aplicaciones. Ronald J. Tocci. Prentice Hall Hispanoamerica S.A.
Diseño de Sistemas Digitales y Microprocesadores. Hayes. McGrawHill

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